极点与极线

极线可以通过以下的方法作出来（以椭圆为例）：

过平面内任意一点 P （此时P在曲线内）作直线 AB 、 CD 与二次曲线交于 A 、 B 、 C 、 D 四点。直线 AD 与 BC 交于点 Q ，直线 AC 与 BD 交于点 R 。

则直线 QR 为极点 P 对该二次曲线的极线。

接下来谈谈极线的有趣的性质，先考虑椭圆的情况。

设椭圆

一、极点在椭圆上

当 P 点在曲线上时， P 、B 、 D 、 Q 四点重合，极线为 P 处切线。

下面来证明：椭圆上一点处切线（极线）方程为

证明 两边对 xx 求导得：
即
代入 P(x0,y0)得：
则切线可表示为
整理得
所以 P(x0,y0)处切线（极线）方程为

二、极点在椭圆外

先给出结论：对于极点 P(x0,y0) 极线方程仍为
接下来证明：过 P(x0,y0) 作椭圆的两条切线，切点为 A ， B ，则AB 的方程为。
证明 设 A(x_1,y_1) ， B(x_2,y_2) ，则两条切线分别为：

，

由于在两条切线上，，

所以 A ， B 满足方程
所以 AB 的方程为
因此，点对于曲线的极线，其实就是曲线的切点弦，也就是两切点所在的直线。

三、极点在椭圆内

结论：对于极点，极线方程为

所以可以得到结论：过极点 P 作直线 AB 交曲线于 A 、 B 两点，则曲线在该两点的切线交于极点 P 的极线上。
特别地，以椭圆的焦点为极点时，极线的方程为，即，极线为焦点对应的准线。双曲线、抛物线同理。

对于曲线和点，极线方程为