齐次化解圆锥曲线

1.“齐次”的理解

“齐次”，即次数相等的意思。例如称为二次齐式，即二次齐式的意思是，的每一项都是关于 x,yx,y 的二次项。
2.“齐次化联立”的理解

在解析几何中，过某定点的两条直线的斜率关系可以通过化齐次联立的方法进行转化。

如：

一条直线与曲线相交，且两个交点对原点的张角为直角，我们在联立消元时，可以选择（即交点到原点连线的斜率 kk ），

因此得到一元二次方程，它的两个根是 $，$

把看作一个整体，根据所学知识，两直线为直角，两直线的斜率之积为 −1 。

则根据韦达定理，得到两根之积。

即，从而大大简化运算。
3.”齐次化联立“步骤

在联立消元时，要想达到这个目的，就需要将原来的方程转化成关于 x,y 的齐次式。

我们高中研究的是圆锥曲线的中心在原点上，不会涉及曲线的平移和旋转。

所以，对于二次曲线与直线来说。

步骤1：直线方程转化为常数是一次式或者另设直线方程；

先埋个伏笔：为什么我们要将直线方程转化或设为这种奇奇怪怪的式子？

这个问题会在后文给出答案。

值得说明的是

形式的直线方程的瑕疵是不能表示垂直 x 轴的直线，

形式的直线方程的瑕疵是不能表示过原点的直线。

步骤2：代入时对较低次的项直接乘以常数1即可。

见证奇迹的时刻到了！！！

看看这两个方程的等式右边，是不是都是1！而等式左边是不是各项都是一次项！这是有意为之的！

因为我们知道，二次曲线的各项有常数项、一次项、二次项，显然不满足齐次式。

这里我们就需要将常数项、一次项都转化为二次项，使得各项齐次。而我们知道各项乘上1是不影响等式两边大小的。

因为转化后的直线方程，等式左右两边的值是常数1.

所以我们只需默默地在一次项乘上转化后的直线方程，在常数项乘上转化后的直线方程的平方就可构造齐次式了。

即：

或者：

步骤3：将上述方程左右两边同除即可，于是得到关于的一元二次方程。

最终化成类似于一元二次方程的形式，

懒得化简

步骤4：运用根与系数的关系求出 $，$

还是写一下吧：