二次曲线系

可以考虑使用直线（一次方程）的乘积来表示二次曲线（二次方程）。
平面坐标系中的直线AB有其一般式：，为方便表述，后文中简记作。
平面中退化的二次曲线总有平行于坐标轴的对称轴，为方便表述，后文中简记作。
引理1：方程表示两条直线上的所有点。
引理2：平面上不共线五点确定一个二次曲线。

命题1：已给平面上互异四点A，B，C，D，则下述曲线系方程表示所有过该四点的二次曲线。

证明：对于该方程，将四点坐标代入，不难得到四点均在该曲线上，另外对于第五个点
，由方程取参数，则可以验证得到的二次曲线过A，B，C，D，P五个点。

命题2：退化的二次曲线与，如果有四个交点，则该四个交点共圆。

证明：构造曲线系，取则所表示的曲线二次项系数相同，表示一个圆，不难验证该圆过交点。

命题3：退化的二次曲线上一点P，过该点作斜率分别为，的直线，分别交该二次曲线于M，N两点（M，N异于P），则：

（1）若，则MN斜率为定值。

（2）若为定值，则MN过定点。

证明：设二次曲线为
设，由配极方法知道该点切线为：

不难写出：


设直线MN：

写出曲线系方程：

比较系数：




使用的系数表达式解出，使用xy的系数表达式解出，并将代入。

（1）将由xy系数的比较不难发现当时，k也为定值。

（2）由上述四式子可以得到，过程较繁琐，在此从简：

第四个式子整理后得到 :

先作换元。使用的系数表达式解出使用xy的系数表达式解出，然后讲上述的表达式代入1的系数表达式，注意到点P在曲线C上这个条件，将结果化简，然后与所求直线MN：相比较，即可得到定点。