【导数问题】高阶导数

1.函数凹凸性

函数的凹凸性通常是指函数的以下性质：
函数凹凸性的定义 ：在区间上有定义，被称为是凹函数当且仅当对于任意，任意，有 :


注：凸函数当且仅当

但是在高中阶段，由于研究的函数很少涉及抽象函数（即绝大多数函数都有表达式），且多为初等函数，凹凸性的判定可以使用二次导数：

（若在区间上有二阶导数，）则在上为凹函数的充要条件为：
（也就是切线斜率单调增）（凸函数同理）

为了加深理解与方便应用，我们来考察一下此两者的几何意义（以凹函数为例）。

表明凹函数上任意两点的连线上的点总在曲线上方。
表明凹函数上点的斜线斜率随着自变量单调递增。

事实上，凹函数还有一个重要的性质，那就是：在给定区间内，切线始终在函数图像下方。

我们知道，一阶导数为零的点（特指变号零点，即零点左右值正负性相反的点）是函数单调性变化的点，也就是函数的极值点；二阶导数为零的点（特指编号零点）是函数凹凸性变化的点，我们将之称为拐点。

拐点处的切线会兼具凹函数，凸函数的一些特点，比如在拐点两侧处于函数图像的不同上下方（异侧相切）。关于切线问题，将在后一个部分有详细介绍。

（这里说一件有关函数凹凸性的趣事：凹凸性在大学数学中是一块基础的内容，可是诸多教材上有截然相反的定义：有的将二阶导数正定义为凸，可能是因为两者都给人positive的感觉；有的将函数向上凸称为凸函数，比较符合二维图像给人的直观感受。不论如何，大家记住中国古代哲学家庄子的一句话：“物谓之而然。”）

2.两条曲线在一个点各种各样的相交情形

在许多超越函数的近似过程中，有时会遇到一个尴尬的情况：当你得到的函数与期望的放缩方向只在相等点的一侧成立，却在另一侧有相反的大小情况。这是你不得不再为另外一边寻找一个近似方法。

而更为尴尬的是，往往在相等点两侧不同大小的函数有更好的逼近效果。实在令人抓狂。特别是在帕德逼近的近似函数中，有些近似函数与超越函数函数有一致的大小关系，而有些近似函数与超越函数大小关系在相等点有所变化，具体情况如下：

接下来考虑使用高阶导数分析的方法来解释这一情况。

考察两个函数与（不妨假设此二函数在所研究区间里面单调性，凹凸性都相同，不妨都单调递增且上凸）：

首先假设，则两个函数在处有公共点。

若，在左侧g较大，右侧f较大。

若，在左侧f较大，右侧g较大。

若，两条函数图像有公切线。

当时，

若，在附近f均较大，但是处于公切线下方。

若，在附近g均较大，但是处于公切线下方。

若，进一步讨论如下。

当时，

若，在左侧g较大，右侧f较大，但都处于公切线下方。

若，在左侧g较大，右侧f较大，但都处于公切线下方。

若，进一步讨论如下

………

当时（若n为偶数），

若，在附近f均较大，但是处于公切线下方。

若，在附近g均较大，但是处于公切线下方。

若，进一步讨论。

当时（若n为奇数），

若，在左侧g较大，右侧f较大，但都处于公切线下方。

若，在左侧g较大，右侧f较大，但都处于公切线下方。

若，进一步讨论。

……

总结：

在奇数阶导数恰好相等时有一致的大小关系（同侧相切）。

在偶数阶导数恰好相等时有变化的大小关系（异侧相切）。

（恰好指之前的若干阶导数均相同但是后一阶导数不同）

在的帕德逼近中，我们可以发现，处于某几个对角线的函数恰好有这样的关系，这从一个角度验证了这一个规律。

可以发现，蓝色部分的逼近部分都有一致的单调性，据此可以猜测：在帕德逼近中，当分子分母次数之和为奇数时，近似函数与原有的超越函数在取等点有一致的大小关系；当分子分母次数之和为偶数时，近似函数与原有的超越函数在取等点有变化的大小关系。
3.有关高阶导数的方法

先用函数恒大于0来说明情况。

不难发现，

• 想法1

求导得到，则有
继续求导则有
再不难分析得到，即可完成本题的证明。

不妨设想，如果我们最后的不等式不成立或是证明其成立比较繁琐，也就是在二阶导数有零点的情况下，上述分析方法变得不再有力，我们或许需要通过放缩来完成这一证明。

• 想法2

提到放缩，可能会想到将放缩成为，也就是：

这时，由于切线放缩的性质，仍然有：

随后求导发现：
，仍然有：

只要我们孜孜不倦地求导：

，就会发现，无法得证。

其原因在于放缩过头，导致“过犹不及”，这一步切线放缩在二阶导数的变化大于所能承受的范围。

• 想法3

我们要控制放缩的力度，考虑到
则有 :



继续求导有，，亦得证。