【导数问题】高阶导数

晨曦

1.函数凹凸性

函数的凹凸性通常是指函数的以下性质:
函数凹凸性的定义 :在区间上有定义,被称为是凹函数当且仅当对于任意,任意,有 :


注:凸函数当且仅当

但是在高中阶段,由于研究的函数很少涉及抽象函数(即绝大多数函数都有表达式),且多为初等函数,凹凸性的判定可以使用二次导数:

(若在区间上有二阶导数,)则上为凹函数的充要条件为:
(也就是切线斜率单调增)(凸函数同理)

为了加深理解与方便应用,我们来考察一下此两者的几何意义(以凹函数为例)。

表明凹函数上任意两点的连线上的点总在曲线上方。
表明凹函数上点的斜线斜率随着自变量单调递增。

事实上,凹函数还有一个重要的性质,那就是:在给定区间内,切线始终在函数图像下方。

我们知道,一阶导数为零的点(特指变号零点,即零点左右值正负性相反的点)是函数单调性变化的点,也就是函数的极值点;二阶导数为零的点(特指编号零点)是函数凹凸性变化的点,我们将之称为拐点。

拐点处的切线会兼具凹函数,凸函数的一些特点,比如在拐点两侧处于函数图像的不同上下方(异侧相切)。关于切线问题,将在后一个部分有详细介绍。

(这里说一件有关函数凹凸性的趣事:凹凸性在大学数学中是一块基础的内容,可是诸多教材上有截然相反的定义:有的将二阶导数正定义为凸,可能是因为两者都给人positive的感觉;有的将函数向上凸称为凸函数,比较符合二维图像给人的直观感受。不论如何,大家记住中国古代哲学家庄子的一句话:“物谓之而然。”)

2.两条曲线在一个点各种各样的相交情形

在许多超越函数的近似过程中,有时会遇到一个尴尬的情况:当你得到的函数与期望的放缩方向只在相等点的一侧成立,却在另一侧有相反的大小情况。这是你不得不再为另外一边寻找一个近似方法。

而更为尴尬的是,往往在相等点两侧不同大小的函数有更好的逼近效果。实在令人抓狂。特别是在帕德逼近的近似函数中,有些近似函数与超越函数函数有一致的大小关系,而有些近似函数与超越函数大小关系在相等点有所变化,具体情况如下:

接下来考虑使用高阶导数分析的方法来解释这一情况。

考察两个函数(不妨假设此二函数在所研究区间里面单调性,凹凸性都相同,不妨都单调递增且上凸):

首先假设,则两个函数在处有公共点。

,在左侧g较大,右侧f较大。

,在左侧f较大,右侧g较大。

,两条函数图像有公切线。

时,

,在附近f均较大,但是处于公切线下方。

,在附近g均较大,但是处于公切线下方。

,进一步讨论如下。

时,

,在左侧g较大,右侧f较大,但都处于公切线下方。

,在左侧g较大,右侧f较大,但都处于公切线下方。

,进一步讨论如下

………

时(若n为偶数),

,在附近f均较大,但是处于公切线下方。

,在附近g均较大,但是处于公切线下方。

,进一步讨论。

时(若n为奇数),

,在左侧g较大,右侧f较大,但都处于公切线下方。

,在左侧g较大,右侧f较大,但都处于公切线下方。

,进一步讨论。

……

总结:

在奇数阶导数恰好相等时有一致的大小关系(同侧相切)。

在偶数阶导数恰好相等时有变化的大小关系(异侧相切)。

(恰好指之前的若干阶导数均相同但是后一阶导数不同)

的帕德逼近中,我们可以发现,处于某几个对角线的函数恰好有这样的关系,这从一个角度验证了这一个规律。

可以发现,蓝色部分的逼近部分都有一致的单调性,据此可以猜测:在帕德逼近中,当分子分母次数之和为奇数时,近似函数与原有的超越函数在取等点有一致的大小关系;当分子分母次数之和为偶数时,近似函数与原有的超越函数在取等点有变化的大小关系。
3.有关高阶导数的方法

先用函数恒大于0来说明情况。

不难发现

  • 想法1

求导得到,则有
继续求导则有
再不难分析得到,即可完成本题的证明。

不妨设想,如果我们最后的不等式不成立或是证明其成立比较繁琐,也就是在二阶导数有零点的情况下,上述分析方法变得不再有力,我们或许需要通过放缩来完成这一证明。

  • 想法2

提到放缩,可能会想到将放缩成为,也就是:

这时,由于切线放缩的性质,仍然有:

随后求导发现:
,仍然有:

只要我们孜孜不倦地求导:

,就会发现,无法得证。

其原因在于放缩过头,导致“过犹不及”,这一步切线放缩在二阶导数的变化大于所能承受的范围。

  • 想法3

我们要控制放缩的力度,考虑到
则有 :



继续求导有,亦得证。

  • 标题: 【导数问题】高阶导数
  • 作者: 晨曦
  • 创建于 : 2022-12-14 20:36:07
  • 更新于 : 2024-11-12 08:57:06
  • 链接: https://blog.starlit.icu/2022/12/14/数学/文本文件1/
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