【导数问题】高阶导数
1.函数凹凸性
函数的凹凸性通常是指函数的以下性质:
函数凹凸性的定义 :
注:凸函数当且仅当
但是在高中阶段,由于研究的函数很少涉及抽象函数(即绝大多数函数都有表达式),且多为初等函数,凹凸性的判定可以使用二次导数:
(若
为了加深理解与方便应用,我们来考察一下此两者的几何意义(以凹函数为例)。
事实上,凹函数还有一个重要的性质,那就是:在给定区间内,切线始终在函数图像下方。
我们知道,一阶导数为零的点(特指变号零点,即零点左右值正负性相反的点)是函数单调性变化的点,也就是函数的极值点;二阶导数为零的点(特指编号零点)是函数凹凸性变化的点,我们将之称为拐点。
拐点处的切线会兼具凹函数,凸函数的一些特点,比如在拐点两侧处于函数图像的不同上下方(异侧相切)。关于切线问题,将在后一个部分有详细介绍。
(这里说一件有关函数凹凸性的趣事:凹凸性在大学数学中是一块基础的内容,可是诸多教材上有截然相反的定义:有的将二阶导数正定义为凸,可能是因为两者都给人positive的感觉;有的将函数向上凸称为凸函数,比较符合二维图像给人的直观感受。不论如何,大家记住中国古代哲学家庄子的一句话:“物谓之而然。”)
2.两条曲线在一个点各种各样的相交情形
在许多超越函数的近似过程中,有时会遇到一个尴尬的情况:当你得到的函数与期望的放缩方向只在相等点的一侧成立,却在另一侧有相反的大小情况。这是你不得不再为另外一边寻找一个近似方法。
而更为尴尬的是,往往在相等点两侧不同大小的函数有更好的逼近效果。实在令人抓狂。特别是在帕德逼近的近似函数中,有些近似函数与超越函数函数有一致的大小关系,而有些近似函数与超越函数大小关系在相等点有所变化,具体情况如下:
接下来考虑使用高阶导数分析的方法来解释这一情况。
考察两个函数
首先假设
若
若
若
当
若
若
若
当
若
若
若
………
当
若
若
若
当
若
若
若
……
总结:
在奇数阶导数恰好相等时有一致的大小关系(同侧相切)。
在偶数阶导数恰好相等时有变化的大小关系(异侧相切)。
(恰好指之前的若干阶导数均相同但是后一阶导数不同)
在
可以发现,蓝色部分的逼近部分都有一致的单调性,据此可以猜测:在帕德逼近中,当分子分母次数之和为奇数时,近似函数与原有的超越函数在取等点有一致的大小关系;当分子分母次数之和为偶数时,近似函数与原有的超越函数在取等点有变化的大小关系。
3.有关高阶导数的方法
先用函数
不难发现
- 想法1
求导得到
继续求导
再不难分析得到
不妨设想,如果我们最后的不等式不成立或是证明其成立比较繁琐,也就是在二阶导数有零点的情况下,上述分析方法变得不再有力,我们或许需要通过放缩来完成这一证明。
- 想法2
提到放缩,可能会想到将
这时,由于切线放缩的性质,仍然有:
随后求导发现:
只要我们孜孜不倦地求导:
其原因在于放缩过头,导致“过犹不及”,这一步切线放缩在二阶导数的变化大于所能承受的范围。
- 想法3
我们要控制放缩的力度,考虑到
则有 :
继续求导有
- 标题: 【导数问题】高阶导数
- 作者: 晨曦
- 创建于 : 2022-12-14 20:36:07
- 更新于 : 2024-11-07 02:16:57
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