用复数方法证明三角恒等式

曾写过：“复数，通往真理的最短路径”。复数的便利，在于它沟通了代数和几何。今天，让我们用复数方法证明三角恒等式。
理论基础

要借助复数证明三角恒等式，我们一般需要构造具有以下形式的复数：

这类复数具有许多好的性质，我们熟知的有：

此外，我们再引入另外两条常用的性质：

故：

同理可得：

累加

证明：设
，
则：

对比虚实部，即证

令，得：

我们可以证明许多有趣的式子：

连乘

要证明与三角函数有关的连乘式，我们需要考虑多项式的分解，例如：

记
$，$ 有 $五个根，而$ ，于是有：

我们发现，如果我们代入 z=1 ，就能利用上述的 (3) ，得到关于 sin 的连乘式；如果我们代入 z=-1 ，就能利用上述的 (4) ，得到关于 cos 的连乘式

下面我们具体讨论以下两类不同的方程：

记，则 w,w3⋯,w4m−3w,,是的个根

又因为，于是 w⋯,w2m−3,w2m+1⋯,,,是的 2m−22m-2 个虚根

由因式分解，知：

代入，并置，z=1 得：

所以：

又因为，故：

代入 z=-1 得：

又因为，故：

于是：

记，则是的 2m−12m-1 个根

又因为，于是是的 2m−22m-2 个虚根

由因式分解，知：

代入 z=1 ，得：

于是：

代入 z=-1 ，得：

故：

记，则是的个根

又因为，于是
是的个虚根

由因式分解，知：

代入 z=1 ，得：

于是：

代入 z=-1 ，得：

又因为，所以：

故：

实际上， (12) 不过是 (9) 和 (11) 的更一般的形式